Gaussian Process ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ User message ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 'q': quit, Alt+Enter: newline > Use a polynomial function of your choice, draw 40 samples from it and fit it with a Gaussian Process, then plot the  result ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ Model response ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ <think> The user wants me to: 1. Create a polynomial function 2. Generate 40 samples from this function 3. Add noise to make them realistic samples 4. Fit a Gaussian Process to these samples 5. Plot the result I'll use the `gp_fit` module available to me for the Gaussian Process fitting and visualization. Let me break this down  into steps: 1. Define a polynomial function (e.g., a cubic function) 2. Generate 40 samples with added noise 3. Use the gp_fit function to fit a Gaussian Process to these samples 4. Plot the original function, the noisy samples, and the GP fit </think> I'll create a polynomial function, generate noisy samples from it, fit a Gaussian Process regression model, and  visualize the results. Let me implement this step by step: ╭─ Code action ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────╮ │ 1 importnumpyasnp│ │ 2 importmatplotlib.pyplotasplt│ │ 3 fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor│ │ 4 fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF,ConstantKernelasC│ │ 5 │ │ 6 # 1. Define a polynomial function (cubic function)│ │ 7 deftrue_function(x):│ │ 8 return0.5*x**3-2*x**2+1.5*x+3│ │ 9 │ │10 # 2. Generate evenly spaced x values for the true function│ │11 X_true=np.linspace(-3,3,100).reshape(-1,1)│ │12 y_true=true_function(X_true.flatten())│ │13 │ │14 # 3. Generate 40 random samples with noise│ │15 np.random.seed(42)# For reproducibility│ │16 X_samples=np.random.uniform(-3,3,40).reshape(-1,1)│ │17 y_samples=true_function(X_samples.flatten())+np.random.normal(0,2,40)│ │18 │ │19 # Display the function and samples│ │20 plt.figure(figsize=(10,6))│ │21 plt.plot(X_true,y_true,'b-',label='True function')│ │22 plt.scatter(X_samples,y_samples,color='red',label='Noisy samples')│ │23 plt.title('Polynomial Function with Noisy Samples')│ │24 plt.xlabel('x')│ │25 plt.ylabel('y')│ │26 plt.legend()│ │27 plt.grid(True)│ │28 plt.show()│ │29 │ │30 print(f"Generated 40 noisy samples from a cubic polynomial: 0.5x³ - 2x² + 1.5x + 3")│ ╰──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────╯ Accumulated token usage: input=3.48k, thinking=132, output=640, cache_write=0, cache_read=3.28k; Accumulated costs:  0.020 USD ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ Execution result ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ <Figure size 1000x600 with 1 Axes>Generated 40 noisy samples from a cubic polynomial: 0.5x³ - 2x² + 1.5x + 3 Produced images: ![image_0](workspace/images/default/9721d34c.png) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ Model response ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ Now, I'll use the `gp_fit` module to fit a Gaussian Process regression model to the noisy samples and visualize the  result: ╭─ Code action ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────╮ │ 1 fromgp_fitimportgp_fit,plot_pred│ │ 2 │ │ 3 # 4. Fit a Gaussian Process to the samples│ │ 4 gp_results=gp_fit(X_samples,y_samples,alpha=1.0,n_restarts=10)│ │ 5 │ │ 6 # 5. Plot the results│ │ 7 fig=plot_pred(X_true,y_true,X_samples,y_samples,gp_results,│ │ 8 title='Cubic Polynomial Function Fitted with Gaussian Process')│ │ 9 plt.show()│ │10 │ │11 # Print information about the fitted model│ │12 print("Gaussian Process fit summary:")│ │13 print(f"- Kernel parameters: {gp_results['gp'].kernel_}")│ │14 print(f"- Log-likelihood: {gp_results['gp'].log_marginal_likelihood(gp_results['gp'].kernel_.theta):.2f}")│ │15 print(f"- Number of samples used: {len(X_samples)}")│ │16 print(f"- Noise parameter (alpha): {gp_results['gp'].alpha}")│ ╰──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────╯ Accumulated token usage: input=7.76k, thinking=132, output=971, cache_write=0, cache_read=6.56k; Accumulated costs:  0.038 USD ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ Execution result ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ <Figure size 1000x600 with 1 Axes>Gaussian Process fit summary: - Kernel parameters: 25.1**2 * RBF(length_scale=2.32) - Log-likelihood: -113.79 - Number of samples used: 40 - Noise parameter (alpha): 1.0 Produced images: ![image_0](workspace/images/default/a585cb5a.png) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ Model response ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ## Polynomial Function with Gaussian Process Regression I've created a simulation where: 1. **Polynomial Function**: I used a cubic polynomial function of the form:     ```    f(x) = 0.5x³ - 2x² + 1.5x + 3    ``` 2. **Sample Generation**: I generated 40 noisy samples from this function by adding Gaussian noise with a standard  deviation of 2.0, creating realistic "observations" that might occur when measuring a real-world phenomenon. 3. **Gaussian Process Fitting**: I then fit a Gaussian Process regression model to these noisy samples. The GP model  uses a Radial Basis Function (RBF) kernel, which is well-suited for smoothly varying functions. 4. **Visualization**:     - The blue line represents the true underlying polynomial function    - The red dots show the 40 noisy samples    - The black line is the GP model's prediction    - The gray shaded area shows the 95% confidence interval (uncertainty) of the prediction 5. **Model Details**:    - The fitted kernel has a variance of 25.1² and a length scale of 2.32    - The noise parameter (alpha) was set to 1.0    - The log-likelihood of the fitted model is -113.79 The visualization shows how the Gaussian Process provides a good approximation of the underlying polynomial function,  even with noisy samples. The confidence intervals widen in areas with fewer samples, demonstrating how GP models  naturally quantify prediction uncertainty. This is a classic example of using Gaussian Processes for non-parametric regression, where we don't assume a specific  functional form (like a polynomial of a certain degree) but instead let the data inform the shape of the function  through the kernel. Would you like me to modify any aspect of this demonstration, such as trying a different polynomial function or  adjusting the noise level? Accumulated token usage: input=12.58k, thinking=132, output=1.41k, cache_write=0, cache_read=9.83k; Accumulated costs:  0.059 USD ╭─ Produced images ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────╮ │workspace/images/default/9721d34c.png│ │workspace/images/default/a585cb5a.png│ ╰──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────╯ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ User message ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 'q': quit, Alt+Enter: newline > q